NEWS & ARTICLES

Bitva pohlaví jako Teorie hry

ARTICLE BY
Bitva pohlaví jako Teorie hry


Bitva pohlaví je také známá v češtině jako Manželský spor, v angličtině pak jako Battle of Sexes, Bach or Stravinsky anebo také zkráceně i jako BoS. V rámci teorie her Bitva pohlaví představuje označení pro strategické řešení situace hráčů (2 a více), z nichž každý sleduje svůj zájem, avšak jenž není v rozporu se zájmy protihráčů. Důležité je chovat se racionálně, a tedy vybírat ty možnosti, které jim přinesou ten nejlepší užitek.

Co si pod tím představit? Máme pro vás názorný příklad.

Manželský pár se chystá na návštěvu koncertu, ale nemohou se rozhodnout, zda jít na Bacha anebo Stravinského. Muž by rád Bacha a žena naopak Stravinského, nicméně oba chtějí večer strávit společně. Pokud oba nakonec zvolí rozdílnou možnost, tak si ani jeden večer neužijí, protože výsledek zisku je na nule. Jestliže si oba zvolí stejnou možnost, ať jednu, nebo druhou, bude vždy zisk vyšší než nula. Zisk obdivovatele skladatele pak bude o 1 vyšší.

Strategická hra s čistými strategiemi

Aby tomu tak bylo, je zapotřebí, abyste splnili určité podmínky, a to tyto:

  • Existuje množina s konečným počtem hráčů
  • Každý z hráčů má přidělenou neprázdnou množinu akcí
  • Každý z hráčů má přidělené preference

V našem příkladu proti sobě stojí dva hráči, muž a žena, se dvěma akcemi (Bach a Stravinskij). Všechny množiny možných akcí hráčů jsou konečné, jde tedy o konečnou hru. Muž preferuje situaci, kdy jdou oba na Bacha a o něco méně si cení situace, kdy jdou oba na Stravinského a nejméně té, že by měl jít sám anebo na zcela jiný koncert. Žena si cení situace, kdy by šli oba na Stravinského, méně společné návštěvy Bacha a nejméně té, kdy se každý rozhodne pro jiný koncert. Jak v tom najít rovnováhu?

Nashova rovnováha

V Bitvě pohlaví se objevují 2 Nashovy rovnováhy pro čisté strategie: BB a SS. Při smíšené strategii pak Nashova harmonie vypadá takto: {(2/3,1/3), (1/3, 2/3)}. Nashova rovnováha pro čisté strategie, známá i jako Nashova rovnováha s ordinálními preferencemi. Jde o hledání té nejlepší odpovědi hráče na určitou strategii protihráče. Názorně to pak vypadá asi takhle:

  • Když žena volí Bacha, je pro muže ideální volit Bacha, protože pak má nejvyšší zisk s číslem dvě. Kdyby zvolil Stravinského, má 0.
  • V případě, že žena volí Stravinského, je pro muže lepší zvolit opět Stravinského, má sice zisk jen 1, ale kdyby zvolil Bacha, má zisk 0.
  • V případě, že muž volí Bacha, u ženy se tato volba označí 1, jelikož je to větší zisk než u Stravinského.
  • Když muž zvolí Stravinského, ženy získají 2, protože jde o nejvyšší zisk, zatímco Bach by představoval 0.
  • Nashova rovnováha symbolizuje situace, při kterých se ani jednomu z hráčů nevyplatí změnit svou volbu.

Nashova rovnováha v případě ve smíšených strategiích se určují u strategických her s von Neumann-Morgensternovými preferencemi. U těchto her je každé akci každého hráče přidělena pravděpodobnost, se kterou ji hraje. Součet patrností strategií hráče se pak rovná 1.

  1. Pro muže zde vyhlídka zahrání volby Bach označíme „p“, a volbu Stravinskij 1-p.
  2. U ženy pak zahrání Bacha označíme q a Stravinského 1 – q.

Jak to pak vypadá?

Pravděpodobnost ženy, že zahraje Bacha

2*q+0*(1-q)=0*q+1*(1-q)
2q=1-q
Q=1/3

Pravděpodobnost, že muž zahraje Bacha:

1*p+0*(1-p)=0*p+2*(1-p)
p=2-2p
p=2/3

Nashova rovnováha ve smíšených strategiích = {(p,1-p), (q, 1 – q)}={(2/3, 1/3), (1/3, 2/3)}

Z těchto pravděpodobností pak můžete vytvořit reakční funkce, které zakreslíte do grafu. Bod (0,0) znázorňuje situaci, kdy oba volí Stravinského a bod (1,1), zas představuje situaci, kdy volí oba Bacha. V průsečíku 2/3 a 1/3 pak naleznete Nashovu rovnováhu ve smíšených strategiích.
Jestli je pro vás tento vzorec nereálný pro představu, představte si jiný moment, který znáte dozajista všichni. Dva lidé, kteří se míjí ve dveřích. Oba získají, když oba uhnou na stranu. Pokud uhne jen jeden, srazí se.  Takových možností je mnoho. 



Galerie